相加平均・相乗平均の大小関係について

数学の話題で少し気になることを書こうと思う。

相加平均・相乗平均の大小関係は
a≧0，b≧0のとき
　(a+b)/2≧√ab
であるが、
教科書によっては、
条件の部分が
「a＞0，b＞0のとき」
となっている。

受験生にとっては、このへんの考え方が少しわかりにくいようである。
例えば、
「a＞0のとき　a+1/a≧2　を証明せよ」
とあった場合に、困ってしまう受験生もいるようである。「a≧0ではないのか？」ということだ。
ここでは、a＝0となってしまえば、1/aの話が成り立たなくなるので、a≧0と問題設定としてできないわけだが、そのときにこの不等式を使って良いものなのかどうか・・・ということである。

あくまでも、相加・相乗平均の大小関係は、「a≧0」というのは、「a＞0」または「a＝0」ということなので、そのいずれの場合でも成り立つわけだから、a＞0のときのみに使っても問題はない。このへんの不等号の使い方に関しては、非常に曖昧にしている受験生は多い。だから、教科書も条件のところを「a≧0，b≧0」と書けず、一歩踏み込んだ条件で書かざるを得ないのだろう。


このブログで数学の話題を初めてまともにした気がする・・・今度から気が向いたら書くことにしたい。